mathe📚 Le cours — Arithmétique — Divisibilité et PGCD
La divisibilité est la notion de base : un entier `a` est divisible par un entier `b` non nul s'il existe un entier `k` tel que `a = bk`. Cela signifie que la division euclidienne de `a` par `b` a un reste nul. Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux entiers `a` et `b` non tous deux nuls, noté `PGCD(a,b)`, est le plus grand entier qui divise à la fois `a` et `b`. Sa détermination est cruciale. L'algorithme d'Euclide est la méthode standard pour trouver le PGCD : il repose sur la propriété `PGCD(a,b) = PGCD(b,r)` où `r` est le reste de la division euclidienne de `a` par `b`. On répète le processus jusqu'à obtenir un reste nul ; le dernier reste non nul est le PGCD. Pour les Maths Expertes, il est fondamental de connaître le théorème de Bézout, qui stipule que pour deux entiers `a` et `b`, il existe des entiers relatifs `u` et `v` tels que `au + bv = PGCD(a,b)`. C'est une propriété puissante qui relie le PGCD à des combinaisons linéaires des nombres. La compréhension de ces concepts permet de résoudre des problèmes d'équations diophantiennes et d'analyse modulaire.
- Effectuer la division euclidienne de 252 par 198.
- Effectuer la division euclidienne du diviseur précédent par le reste précédent.
- Répéter le processus jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.
- Écrire l'identité de Bézout pour `PGCD(a,b)`.
- Utiliser les propriétés de la divisibilité (`d|a` et `d|b`) pour montrer que `d` divise la combinaison linéaire `au + bv`.
🔥 Exercices d'entraînement
Trouver tous les couples d'entiers naturels `(x, y)` solutions de l'équation `11x + 7y = 1` en utilisant le théorème de Bézout et en déduire les solutions générales de l'équation `11x + 7y = 5`.
Correction complète disponible...
Exercice de brevet / bac...
Correction étape par étape...
📄 Fiche de révision PDF
Téléchargez la fiche de révision complète sur Arithmétique — Divisibilité et PGCD au format PDF...
Tu n’as toujours pas compris arithmétique ?
Prends un cours particulier avec un prof Tomathe
et progresse vraiment en maths.
Déjà inscrit ? Se connecter
❓ Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un nombre premier et des nombres premiers entre eux ?
Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs distincts et positifs : 1 et lui-même (ex: 2, 3, 5, 7...). Deux nombres sont dits "premiers entre eux" si leur plus grand commun diviseur (PGCD) est égal à 1. Ils n'ont donc pas d'autre diviseur commun que 1 (ex: 4 et 9 sont premiers entre eux, mais ni 4 ni 9 ne sont premiers).
Comment le théorème de Bézout est-il utile en pratique ?
Le théorème de Bézout est fondamental pour prouver l'existence de solutions à certaines équations diophantiennes (équations à coefficients entiers dont les solutions sont recherchées parmi les entiers), comme `ax + by = c`. Il permet de savoir si une telle équation admet des solutions entières : c'est le cas si et seulement si `c` est un multiple de `PGCD(a,b)`. Il est aussi utilisé pour démontrer le lemme de Gauss, essentiel en arithmétique et en algèbre.